Подписаться«Макс»

У сложения есть несколько основных свойств: слагаемые разрешено переставлять, по-разному группировать и добавлять ноль — результат от этого не изменится. Знание правил экономит время при устном счете и упрощает работу с выражениями. С вычитанием ситуация иная: переместительное и сочетательное свойства для него не работают. РБК Life объясняет основные свойства сложения и вычитания.

Что такое свойства сложения

Свойства сложения — это правила, по которым можно менять порядок или группировку слагаемых, не изменяя значения суммы. В федеральной программе начальной школы отдельно указаны переместительное и сочетательное свойства сложения, а также действия с числами 0 и 1 [1].

Если обозначить числа буквами a, b и c, правила записываются так:

• a + b = b + a — переместительное свойство;
• (a + b) + c = a + (b + c) — сочетательное свойство;
• a + 0 = 0 + a = a — свойство сложения с нулем.

Эти равенства работают не только с натуральными числами — так же ведут себя целые, рациональные и действительные числа. А сами названия подсказывают, что именно можно менять: «переместительное» — порядок слагаемых, «сочетательное» — способ их группировки.

С вычитанием эти правила не работают, и вот почему: 12 − 5 = 7, а 5 − 12 уже −7; (20 − 8) − 3 дает 9, а 20 − (8 − 3) — целых 15 [2]. Переставить или перегруппировать числа со знаком «минус» просто так нельзя — свойства сложения сюда не переносятся.

Переместительное свойство сложения

Суть переместительного свойства сложения заключается в том, что от перестановки слагаемых сумма не изменяется. Иными словами, порядок слагаемых можно менять как угодно — результат сложения останется прежним. В школьной математике это свойство также называют переместительным законом сложения. Его обычно формулируют так: «От перемены мест слагаемых сумма не меняется».

Формула:

a + b = b + a

Например:

27 + 13 = 13 + 27 = 40

Польза переместительного свойства особенно заметна, когда слагаемых больше двух. Например, в выражении 38 + 27 + 62 можно переставить 27 и 62, чтобы рядом оказались 38 и 62: их сумма равна 100.

Например:

38 + 27 + 62 = 38 + 62 + 27 = 100 + 27 = 127

Числа 27 и 62 просто поменялись местами — сами значения и знаки действий остались прежними.

Почему это свойство не работает для вычитания

У вычитания все наоборот — порядок чисел напрямую влияет на ответ. 15 − 6 = 9, а вот 6 − 15 уже −9. Отсюда правило: a − b и b − a в общем случае — разные числа [2].

Есть и другой взгляд на вычитание — как на прибавление противоположного числа: a − b = a + (−b). В алгебре, когда в дело идут отрицательные числа, к этому приему прибегают постоянно [3].

Сочетательное свойство сложения

Сочетательное свойство отвечает не за порядок слагаемых, а за их группировку. Если складывают три числа и больше, расстановку скобок можно менять без изменения суммы [2].

Формула:

(a + b) + c = a + (b + c)

Например:

(18 + 25) + 75 = 18 + (25 + 75)

Слева сначала получаем 43 + 75 = 118. Справа — 18 + 100 = 118. Ответ одинаковый, но второй способ проще для устного счета.

Важно отличать сочетательное свойство от переместительного. Переместительное меняет порядок слагаемых, а сочетательное — только их группировку. На практике оба свойства часто используют одновременно.

Например:

17 + 48 + 83 + 52 = (17 + 83) + (48 + 52) = 100 + 100 = 200

Сначала слагаемые переставили так, чтобы образовались удобные пары, а затем объединили эти пары.

Почему группировка меняет результат при вычитании

Вычитание не обладает сочетательным свойством. Скобки в выражении с минусом могут полностью изменить ответ:

(20 − 8) − 3 = 12 − 3 = 9

20 − (8 − 3) = 20 − 5 = 15

Свойство сложения с нулем

Ноль называют нейтральным элементом сложения: если прибавить его к любому числу, число не изменится [4].

Формула:

a + 0 = 0 + a = a

Например:

46 + 0 = 46

0 + 125 = 125

Это свойство кажется очевидным, но постоянно используется в вычислениях и алгебраических преобразованиях. Например, если в выражении появляется 0 после вычисления другой части, его можно сразу убрать:

73 + (18 − 18) = 73 + 0 = 73

Что происходит с нулем при вычитании

При вычитании есть два полезных случая:

• a − 0 = a — если из числа вычесть ноль, оно не изменится;
• a − a = 0 — если из числа вычесть само это число, получится ноль.

Но менять числа местами нельзя. В целых числах 0 − a = −a, поэтому выражения a − 0 и 0 − a дают разные результаты, если a ≠ 0.

Как применять свойства сложения

Главная практическая польза свойств сложения — возможность перестроить выражение так, чтобы считать было проще. Обычно достаточно трех шагов.

Шаг 1. Найдите удобные пары

Посмотрите, какие слагаемые дают круглое число — 10, 100, 1000 и так далее.

Например:

46 + 37 + 54

Числа 46 и 54 дают 100, поэтому лучше поставить их рядом:

46 + 37 + 54 = 46 + 54 + 37 = 100 + 37 = 137

Шаг 2. Перегруппируйте слагаемые

Если удобные числа уже стоят рядом, достаточно изменить скобки или мысленно объединить их.

Например:

145 + 36 + 64 = 145 + (36 + 64) = 145 + 100 = 245

Шаг 3. Проверьте, нет ли вычитания

Если в выражении есть знак «минус», свойства сложения нельзя применять к нему автоматически. Например, в выражении 100 − (27 + 13) сначала удобно вычислить сумму в скобках:

100 − (27 + 13) = 100 − 40 = 60

Для более сложных выражений вычитание можно представить как сложение с противоположным числом: a − b = a + (−b).

Примеры решения задач

Разберем несколько примеров — от простого устного счета до текстовой задачи.

Пример 1.

Вычислите:

46 + 29 + 54

Решение:

• В выражении 46 + 29 + 54 для удобства переставим местами слагаемые 29 и 54. Получим 46 + 54 + 29.
• Посчитаем сумму первых двух слагаемых: 46 + 54 = 100.
• Добавим третье слагаемое: 100 + 29 = 129.

Ответ: 129.

Пример 2.

Вычислите:

125 + 37 + 63 + 75

Решение:

• Переставим слагаемые так, чтобы рядом оказались удобные пары: 125 + 75 + 37 + 63.
• Сгруппируем слагаемые: (125 + 75) + (37 + 63).
• Вычислим суммы в скобках и сложим результаты: 200 + 100 = 300.

Ответ: 300.

Пример 3.

Вычислите:

508 + 0 + 92

Решение:

• Так как 0 не меняет сумму, уберем это слагаемое: 508 + 92.
• Вычислим сумму: 508 + 92 = 600.

Ответ: 600.

Пример 4.

Вычислите:

150 − (35 + 15)

Решение:

• Сначала вычислим сумму в скобках: 35 + 15 = 50.
• Вычтем полученное число из 150: 150 − 50 = 100.

Ответ: 100.

Пример 5.

В трех коробках лежат 28, 35 и 22 карандаша. Сколько карандашей всего?

Решение:

• Запишем сумму: 28 + 35 + 22.
• Переставим 35 и 22, чтобы рядом оказались 28 и 22: 28 + 22 + 35.
• Сложим удобную пару: 28 + 22 = 50.
• Добавим оставшееся слагаемое: 50 + 35 = 85.

Ответ: 85 карандашей.

Свойства вычитания

Вычитание нуля

Если из числа вычесть ноль, число не изменится:

a − 0 = a

Например:

46 − 0 = 46

Это правило можно использовать, чтобы упростить выражение.

Вычитание числа из самого себя

Если из числа вычесть это же число, получится ноль:

a − a = 0

Например:

125 − 125 = 0

Вычитание суммы и разности

При вычитании суммы из числа можно выполнить вычитание каждого слагаемого отдельно:

a − (b + c) = a − b − c

Например:

100 − (20 + 30) = 100 − 20 − 30 = 50

Если из числа вычитают разность, знак перед вторым числом меняется:

a − (b − c) = a − b + c

Например:

100 − (30 − 10) = 100 − 30 + 10 = 80

У вычитания нет переместительного и сочетательного свойств: в общем случае нельзя менять местами уменьшаемое и вычитаемое или произвольно переставлять скобки.

Почему у вычитания нет переместительного свойства

При сложении порядок слагаемых не влияет на результат, а при вычитании — влияет. Поэтому выражения a − b и b − a в общем случае не равны.

Например:

15 − 6 = 9

6 − 15 = −9

Числа поменялись местами, и результат изменился. Поэтому переместительное свойство к вычитанию применять нельзя.

Почему у вычитания нет сочетательного свойства

При сложении скобки можно расставлять по-разному, не меняя результата. При вычитании изменение группировки может дать другой ответ.

Например:

(20 − 8) − 3 = 12 − 3 = 9

20 − (8 − 3) = 20 − 5 = 15

Главное о свойствах сложения и вычитания

• У сложения есть три базовых свойства: переместительное, сочетательное и свойство сложения с нулем.
• Переместительное свойство позволяет менять местами слагаемые: a + b = b + a. Сочетательное — по-разному группировать их: (a + b) + c = a + (b + c).
• Ноль — нейтральный элемент сложения: a + 0 = a. Эти свойства особенно полезны при устном счете: с их помощью можно находить удобные пары чисел и получать круглые значения.
• У вычитания нет переместительного и сочетательного свойств: нельзя произвольно менять местами числа или группировать их. Например, a − b ≠ b − a и (a − b) − c ≠ a − (b − c).
• При этом у вычитания действуют отдельные правила: a − 0 = a, a − a = 0, a − (b + c) = a − b − c, a − (b − c) = a − b + c.