Порядок выполнения действий в математике: правила и примеры
. Объясняют преподаватели
В математическом выражении с несколькими операциями нельзя выбирать последовательность вычислений произвольно. Сначала учитывают скобки и степени, затем выполняют умножение и деление, а после — сложение и вычитание. РБК Life объясняет порядок действий на простых примерах и разбирает ошибки, из-за которых одно и то же выражение может привести к разным ответам.
Содержание
Что такое порядок выполнения действий
Порядок выполнения действий в математическом выражении
Порядок выполнения действий — это последовательность, в которой вычисляют значение математического выражения, если в нем есть несколько операций. Единое правило нужно для того, чтобы одна и та же запись имела однозначный результат.
С порядком действий начинают знакомиться уже в начальной школе, а дальше правило используют практически во всех разделах математики — от вычислений с натуральными числами до преобразования алгебраических выражений.
В базовых арифметических выражениях действует такая последовательность:
скобки -> степени -> умножение и деление -> сложение и вычитание.
Важно не воспринимать умножение и деление как две разные ступени. У них одинаковый приоритет: если обе операции встречаются в одном выражении, их выполняют слева направо [1]. То же правило действует для сложения и вычитания.
Например, нужно решить следующее выражение:
24 : 4 × 2
В выражении есть только деление и умножение. Эти действия равноправны, поэтому начинаем расчет слева — делим 24 на 4 и только затем результат умножаем на 2:
24 : 4 × 2 = 6 × 2 = 12
Порядок действий без скобок
Порядок выполнения действий в выражении без скобок
Если в выражении нет скобок, сначала нужно определить, к какому уровню относятся операции. В простейшем случае все действия равноправны, тогда их выполняют последовательно слева направо. Если встречаются операции разных уровней, сначала считают умножение и деление, а после — сложение и вычитание [2].
Если есть только сложение и вычитание
Сложение и вычитание имеют одинаковый приоритет.
Например:
18 − 6 + 4
Считаем слева направо:
18 − 6 + 4 = 12 + 4 = 16
Нельзя сначала сложить 6 + 4: знак «минус» относится к действию между 18 и 6, а не превращает оставшуюся часть записи в отдельную сумму.
Если есть только умножение и деление
Если в выражении есть только умножение и деление, их выполняют слева направо, поскольку эти операции имеют одинаковый приоритет.
Например:
36 : 6 × 4
Сначала выполняем первое действие слева:
36 : 6 × 4 = 6 × 4 = 24
Деление не важнее умножения, а умножение не важнее деления. Порядок определяет положение операций в выражении.
Если действия разные
Умножение и деление выполняют раньше сложения и вычитания.
Например:
8 + 3 × 4 − 6 : 2
Сначала считаем произведение и частное:
3 × 4 = 12
6 : 2 = 3
Остается:
8 + 12 − 3
Сложение и вычитание равноправны, поэтому идем слева направо:
8 + 12 − 3 = 20 − 3 = 17
Часто забывают, что умножение и деление равноправны, как и сложение с вычитанием. Например, в выражении 12: 3 × 4 ответ — 16, а не 1: действия выполняются слева направо, и первым идет деление. Еще важный момент: внутри каждой скобки действуют те же правила.
Порядок действий со скобками
Порядок выполнения действий в выражении со скобками
Скобки позволяют изменить обычную последовательность вычислений. Выражение внутри них нужно рассчитать до того, как переходить к остальной части записи. Если в скобках несколько операций, внутри них продолжает действовать обычный порядок действий.
Простой пример со скобками
Например:
10 + 3 × (8 − 5)
Сначала вычисляем разность в скобках:
8 − 5 = 3
Получаем:
10 + 3 × 3
Теперь выполняем умножение:
3 × 3 = 9
И только затем сложение:
10 + 9 = 19
Несколько действий внутри скобок
Ситуация немного сложнее, если внутри скобок находится несколько операций:
20 − (6 + 2 × 3)
Нельзя сразу сложить 6 + 2. В скобках сначала выполняем умножение:
2 × 3 = 6
Затем:
6 + 6 = 12
Возвращаемся к основному выражению:
20 − 12 = 8
Вложенные скобки
Порядок выполнения действий в выражении со вложенными скобками
Если скобки вложены друг в друга, вычисления начинают с самых внутренних. Такой принцип используют и для более сложных группирующих конструкций.
Например:
30 − (4 + 2 × (5 − 2) )
Сначала:
5 − 2 = 3
Затем:
2 × 3 = 6
После:
4 + 6 = 10
И в конце:
30 − 10 = 20
Таким образом, внешние скобки не означают, что внутри нужно механически считать все слева направо. Они лишь выделяют часть выражения, которую необходимо закончить раньше остальной записи.
Как объяснить скобки на простом примере
Напишите на бумаге: 2 × (3 + 4). Скажите: «Смотри, у нас есть два пакета. А в каждом пакете лежит 3 красных яблока и 4 зеленых. Сколько всего яблок?» Если считать по правилу — сначала скобки: в одном пакете 3 + 4 = 7 яблок, в двух пакетах 2 × 7 = 14. Все честно. Если считать слева направо, не глядя на скобки: 2 × 3 = 6, потом + 4 = 10. Мы будто потеряли 4 яблока. Именно здесь ребенок видит, что порядок имеет значение: скобки группируют предметы, которые должны обрабатываться вместе, как единое целое.
Как определить порядок выполнения действий
Шаг 1. Найдите скобки
Если они вложены, начните с самых внутренних. Внутри каждой пары скобок действует тот же порядок операций, что и во всем выражении.
Шаг 2. Вычислите степени
Выполните возведение в степень, если степени есть.
Шаг 3. Выполните умножение и деление
Все умножения и деления выполняют слева направо.
Шаг 4. Выполните сложение и вычитание
Оставшиеся сложения и вычитания также выполняют слева направо.
Точнее говоря, скобки — это не операция с собственным приоритетом, а знак, который просто предписывает закончить вычисления внутри себя раньше остальной записи. Поэтому корректнее говорить не «скобки выше степеней», а «сначала выполняют действия внутри скобок, затем вычисляют степени, после этого — умножение и деление, а затем сложение и вычитание».
Пример алгоритма
2 + 3² × 4
Сначала степень:
3² = 9
Затем умножение:
9 × 4 = 36
И только после сложение:
2 + 36 = 38
Примеры порядка выполнения действий
От простых действий слева направо до выражений со скобками и степенью
Ниже пять выражений с нарастающей сложностью — от действий одного уровня до степени в сочетании со скобками.
Два последних примера стоит разобрать подробнее — именно в них чаще всего теряются даже те, кто уверенно решает более простые выражения.
Вложенные скобки
Выражение:
50 − (3 × (6 − 2) + 8)
Начинаем с самых внутренних скобок:
6 − 2 = 4
Продолжаем во внешних скобках:
3 × 4 = 12
12 + 8 = 20
Возвращаемся к основному выражению:
50 − 20 = 30
Ответ: 30.
Степень, скобки и все четыре действия
Выражение:
2³ + (10 − 4) × 3 − 8 : 2
Сначала скобки:
10 − 4 = 6
Затем степень:
2³ = 8
Теперь умножение и деление слева направо:
6 × 3 = 18
8 : 2 = 4
Остается сложение и вычитание:
8 + 18 − 4 = 26 − 4 = 22
Ответ: 22.
Частые ошибки
Одна из главных трудностей темы связана не с самими вычислениями, а с неправильным представлением об иерархии операций.
Типичные ошибки школьников: счет справа налево, игнорирование скобок, ложный приоритет умножения над делением и/или сложения над вычитанием.
Разберем на конкретных примерах.
Выполнять все действия строго слева направо
В выражении 7 + 4 × 5 это дает неверные 7 + 4 = 11, 11 × 5 = 55 вместо правильных 7 + 20 = 27: умножение имеет более высокий приоритет.
Всегда ставить умножение перед делением
В выражении 24 : 4 × 2 ошибочный ход — сначала 4 × 2 = 8, затем 24 : 8 = 3.
Правильно — слева направо: 24 : 4 = 6, затем 6 × 2 = 12.
Умножение и деление имеют одинаковый приоритет и выполняются слева направо
Всегда ставить сложение перед вычитанием
В выражении 18 − 6 + 4 нельзя сначала сложить 6 + 4.
Считаем слева направо:
18 − 6 + 4 = 12 + 4 = 16
Забывать о порядке действий внутри скобок
В выражении 20 − (6 + 2 × 3) нельзя сразу вычислить 6 + 2 — внутри скобок сначала выполняется умножение:
2 × 3 = 6
Затем:
6 + 6 = 12
И только потом:
20 − 12 = 8
Начинать с внешних скобок вместо внутренних
В выражении 30 − (4 + 2 × (5 − 2) ) первым действием должно быть 5 − 2, а не то, что находится снаружи.
Забывать о степенях
В выражении 2 + 3² × 4 сначала нужно вычислить 3² = 9, а не 3 × 4.
Частые вопросы
Что выполнять первым: умножение или деление?
Умножение и деление имеют одинаковый приоритет. Если в выражении встречаются обе операции и скобки или другие действия более высокого уровня, их не разделяют, считать нужно слева направо.
Например:
40 : 5 × 2 = 8 × 2 = 16
а не:
40 : 10 = 4
Что выполнять первым: сложение или вычитание?
Они также равноприоритетны и считаются слева направо после действий более высокого уровня.
Например:
20 − 8 + 3 = 12 + 3 = 15
Что делать, если в выражении есть скобки?
Сначала нужно вычислить выражение внутри скобок. Если внутри расположено несколько операций, между ними сохраняется обычная иерархия. При вложенных скобках начинают с самых внутренних.
Что выполнять раньше: скобки или степень?
Если степень находится вне скобок, сначала заканчивают выражение внутри группировки, затем переходят к степеням.
Например:
(2 + 3)² × 2 -> 2 + 3 = 5 -> 5² = 25 -> 25 × 2 = 50
Как проще запомнить порядок действий?
Чем сложнее операция, тем она главнее. Но обязательно учитывайте, что при этом умножение с делением равноправны, сложение с вычитанием — тоже. Скобки же — это приоритет, своего рода «заборчик»: сначала мы разбираемся с тем, что внутри него, а потом выходим наружу.
Стоит ли проставлять номера действий над примером?
Этот прием незаменим для длинных и «страшных» примеров, где много действий, — как построить маршрут в навигаторе. Но не стоит загонять ребенка в рамки: если действия равноправны, он может спокойно считать слева направо. Номера действий — это спасательный круг. На глубокой воде, в сложных примерах, он нужен, чтобы не утонуть. Но в бассейне, в простых или устных примерах, плавать с кругом глупо — он мешает развивать математическое чутье.
Почему вообще существует такой порядок?
Порядок действий придумали не просто так. Это позволяет получать на один и тот же пример один и тот же ответ в любой точке земного шара.
Главное
- Порядок вычислений: сначала действия в скобках — от внутренних к внешним, затем степени, потом умножение и деление слева направо, в конце — сложение и вычитание слева направо.
- Умножение и деление равноправны между собой; так же равноправны сложение и вычитание — при встрече двух таких операций считают строго слева направо.
- Скобки — не операция с приоритетом, а знак, который выделяет часть выражения для более раннего вычисления.
- Самая частая ошибка — считать по порядку слева направо, не обращая внимания на приоритет операций.
- Тема входит в программу со второго класса и используется на протяжении всего школьного курса математики.
