Что такое углы в математике и какие есть виды
. Как измерить угол транспортиром
Угол обозначают знаком ∠ и буквами
Углы можно увидеть в стрелках часов, приоткрытой двери и треугольнике, нарисованном в тетради. В геометрии их измеряют в градусах или радианах, сравнивают и используют для решения задач. РБК Life объясняет, чем острый угол отличается от тупого, как правильно подписывать углы на чертеже и что делать, если под рукой есть только транспортир.
Содержание
Что такое угол
Угол — это геометрическая фигура, образованная двумя лучами, которые выходят из одной точки. Лучи называют сторонами угла, а их общее начало — вершиной [1].
Например, лучи OA и OB выходят из точки O. Вместе они образуют угол AOB. Буква O обозначает вершину, A и B — точки на его сторонах. Величина угла зависит не от длины нарисованных лучей, а от того, насколько широко они расходятся.
Угол AOB
«Возьмите маленькие маникюрные ножницы и большие портновские. Раскройте их одинаково — угол будет одним и тем же, хотя лезвия разной длины. В 3:00 угол между стрелками часов составляет 90°. Даже если часовую стрелку сделать в десять раз длиннее, угол останется прямым. Угол — это «сколько повернули», а не «как далеко протянули».
Обратите внимание: два луча с общей вершиной делят плоскость на две области. В школьных задачах обычно рассматривают меньший угол между ними, не превышающий 180°. Но можно измерять и больший угол — например, 270°. Чтобы было понятно, какую область нужно измерить, на чертеже ее обозначают дугой.
В чем измеряют углы: градусы и радианы
Градус (°) — одна из единиц измерения угла. Полный оборот составляет 360°, половина оборота — 180°, четверть — 90°. Для более точных измерений градус делят на 60 угловых минут, а каждую минуту — на 60 угловых секунд.
В старших классах и вузах для измерения углов также используют радианы (рад). Радианная мера угла равна отношению длины соответствующей дуги окружности к ее радиусу: α = s / r, где s — длина дуги, r — радиус. Если дуга по длине равна радиусу, угол составляет 1 рад [2].
Формулы перевода: α (рад) = α (°) × π / 180; α (°) = α (рад) × 180 / π. Отсюда 90° = π/2 рад, 180° = π рад, 360° = 2π рад. Число π приблизительно равно 3,14.
Пример: переведем угол 60° в радианы. Вычислим 60 × π / 180 = π/3. Значит, 60° = π/3 рад.
«Градусы удобны для черчения, строительства и повседневных измерений. Радианы чаще используют в математическом анализе, физике и инженерных расчетах. Один радиан — примерно 57,3°. Например, 45° соответствуют π/4 радиана: 45 × π / 180 = π/4».
Как обозначаются углы
Для обозначения используют знак ∠ и заглавные латинские буквы. Запись ∠ABC читается как «угол ABC». Средняя буква всегда обозначает вершину, а крайние буквы указывают точки на его сторонах. Например, у угла ∠ABC вершина — точка B, а у ∠BAC — точка A.
Если у вершины только один угол и нет риска перепутать его с другим, можно написать ∠B. В формулах углы часто обозначают греческими буквами α (альфа), β (бета) и γ (гамма). Например: ∠ABC = 45° или α = 45° [3].
На рисунке размер угла показывают небольшой дугой между сторонами. У прямого угла вместо дуги часто ставят квадратик. Если из одной вершины проведено несколько лучей, лучше использовать обозначение из трех букв — так ясно, какой именно угол имеется в виду.
Угол AOB образован двумя лучами OA и OB с общей вершиной O
Виды углов
Углы различают прежде всего по величине. В зависимости от градусной меры угол может быть нулевым, острым, прямым, тупым, развернутым, невыпуклым или полным. Для ориентира запомните границы: 0°, 90°, 180° и 360° [4].
Семь видов углов по величине: нулевой, острый, прямой, тупой, развернутый, невыпуклый и полный
Нулевой угол
- Градусная мера — 0°.
- Радианная мера — 0 рад.
У нулевого угла обе стороны направлены одинаково и совпадают. Его можно представить как стрелку, которая еще не начала поворачиваться. Не путайте нулевой угол с полным: у них совпадают начальное и конечное направления луча, но величина поворота разная.
Острый угол
- Градусная мера — больше 0°, но меньше 90°.
- Радианная мера — больше 0, но меньше π/2 рад.
Острый угол больше нуля, но меньше прямого. Примеры — угол в 30°, 45° или 70°. Приоткрытые ножницы и небольшое раскрытие двери помогают представить такую величину.
Прямой угол
- Градусная мера — 90°.
- Радианная мера — π/2 рад.
Прямой угол равен четверти полного оборота. Его образуют перпендикулярные лучи. Такой угол можно увидеть в углу прямоугольного листа бумаги, книги или оконной рамы.
Тупой угол
- Градусная мера — больше 90°, но меньше 180°.
- Радианная мера — больше π/2, но меньше π рад.
Тупой угол больше прямого, но меньше развернутого. Например, 110°, 135° и 170° — тупые углы. При этом 90° — это уже не тупой, а прямой; 180° — не тупой, а развернутый.
Развернутый угол
- Градусная мера — 180°.
- Радианная мера — π рад.
У развернутого угла стороны лежат на одной прямой и смотрят в противоположные стороны. Это половина полного оборота. Такой угол образуют два луча, которые выходят из одной точки в разные направления вдоль линейки.
Выпуклый угол
Выпуклость описывает не отдельный размер угла, а форму его внутренней области. Для углов до 180° эта область выпуклая: если соединить любые две ее точки отрезком, он останется внутри области. Развернутый угол считается граничным случаем. Острые, прямые и тупые углы также относятся к выпуклым.
Невыпуклый угол
- Градусная мера невыпуклого угла — больше 180°, но меньше 360°.
- Радианная мера невыпуклого угла — больше π, но меньше 2π рад.
Невыпуклый угол также называют входящим. Например, к этой категории относится угол в 240°. На чертеже его дуга проходит по большей части круга, а не по меньшей. В англоязычных учебниках такие углы называют reflex angles [4].
«В технике важно различать небольшой поворот и поворот больше 180°. Например, поворот на 30° и на 240° приводит механизм к разным положениям. Ошибка в направлении поворота может повлиять на точность и безопасность его работы».
Полный угол
- Градусная мера — 360°.
- Радианная мера — 2π рад.
Полный угол соответствует одному обороту вокруг вершины. В начале и в конце оборота луч направлен одинаково. На рисунке важно показать круговую стрелку: иначе его легко спутать с нулевым углом.
«Полный оборот в 360° нужен в навигации, механике и робототехнике. Например, при расчете поворота робота-манипулятора или вращения вала важно понимать, когда механизм совершил полный цикл и вернулся к исходному направлению».
«Дети часто думают: «Длинные стороны — большой угол». Если повернуть рисунок, они могут перестать узнавать даже прямой угол: привыкли, что одна его сторона горизонтальная, а другая вертикальная. Развернутый угол иногда принимают просто за прямую линию. Для быстрой проверки попросите: «Покажи острый угол двумя ладонями. Теперь тупой, прямой, развернутый». Сразу будет видно, где возникла путаница».
Смежные, прилежащие и вертикальные углы
Углы можно разделить не только по величине, но и по взаимному расположению. Два угла называют соседними (прилегающими), если у них общая вершина и сторона, а внутренние области не перекрываются [5].
Смежные углы — частный случай: у них есть общая сторона, а две другие образуют прямую. Поэтому сумма смежных углов всегда равна 180°. Например, если один из них 65°, второй равен 115°. Словосочетание «углы, прилежащие к стороне треугольника» имеет другой смысл: речь идет об углах у концов этой стороны.
Вертикальные углы появляются при пересечении двух прямых. Они расположены друг напротив друга, и их величины равны. Если один такой угол составляет 40°, противоположный тоже равен 40° [1].
«Представьте перекресток двух прямых и четырех «подозреваемых». Смежные углы — «соседи по прямой»: у них есть общая сторона, а вместе они составляют 180°. Вертикальные углы стоят напротив друг друга, словно отражения в зеркале, и всегда равны. Если один угол равен 40°, то вертикальный ему тоже 40°, а смежный — 140°».
Сумма смежных углов равна 180°, а вертикальные углы равны друг другу
Как измерить угол транспортиром
Транспортир — это инструмент с градусной шкалой. Чаще всего он имеет форму полукруга с отметками от 0 до 180°. На некоторых моделях нанесены две шкалы, которые идут в противоположных направлениях. Поэтому перед измерением нужно понять, с какого нуля начинать отсчет [6].
- Найдите вершину угла — точку, из которой выходят два луча.
- Совместите центр транспортира (обычно это небольшая метка или отверстие) с вершиной угла.
- Поверните транспортир так, чтобы его прямая линия с отметкой 0° совпала с одной стороной угла. Если луч короткий, мысленно продолжите его или аккуратно дорисуйте линейкой.
- Посмотрите, где вторая сторона пересекает шкалу. Читайте ту шкалу, у которой 0° стоит на первой стороне угла. Если получилось 50° по одной шкале и 130° по другой, правильное число зависит от выбранного нуля.
- Проверьте результат на глаз: острый угол должен быть меньше 90°, тупой — больше 90°. Если это не совпадает с показанием, вероятно, выбрана не та шкала.
Например, одна сторона угла совпадает с отметкой 0° справа, а другая проходит через 65° по шкале, которая начинается справа. Значит, угол равен 65°. Если воспользоваться противоположной шкалой, получится 115° — это ошибка выбора отсчета.
«Транспортир — это как две линейки, склеенные вместе. Одна начинается слева, другая справа. Выбирайте ту шкалу, у которой ноль совпал с одной из сторон угла, и считывайте значение по ней же. Не перескакивайте с одной шкалы на другую. А для проверки вспомните виды углов: острый угол не может быть равен 120°».
Обычный полукруглый транспортир напрямую измеряет углы до 180°. Если нужен невыпуклый угол в 240°, сначала измерьте меньший между сторонами — 120°, а затем вычтите результат из 360°: 360° − 120° = 240°.
«Вместо школьного транспортира специалисты применяют механические и электронные угломеры, а для некоторых работ — лазерные измерительные приборы. Такие инструменты нужны в столярном деле, металлообработке и при контроле формы деталей». Точность измерения проверяют с помощью эталонных угловых мер, угольника и контрольных шаблонов. При необходимости прибор калибруют, а результаты инженерных расчетов дополнительно проверяют математически».
Измерение угла 65° транспортиром: отсчет ведется от нуля, совпадающего с первой стороной угла
Задачи на измерение углов
Ниже пять задач с постепенным усложнением. Для первых трех хватит знания прямого и развернутого углов, а в последних двух понадобится вспомнить биссектрису и перевод радиан в градусы.
- В треугольнике ABC угол A равен 43°, угол B — 67°. Найдите угол C.
- Точки A, O и C лежат на одной прямой. Луч OB расположен между OA и OC. Если ∠AOB = 35°, чему равен ∠BOC?
- Прямой угол ADB разделен лучом DC на два угла. Если ∠ADC = 28°, найдите ∠CDB.
- На прямой RT отмечена точка N. Луч NM образует с NR угол RNM = 118°, а луч NP — биссектриса угла RNM. Найдите ∠PNT.
- Угол равен 3π/4 рад. Сколько это градусов и к какому виду относится угол?
Решения
- Сумма внутренних углов треугольника равна 180°. Поэтому ∠C = 180° − 43° − 67° = 70°. Ответ: 70°.
- Углы AOB и BOC смежные, так как OA и OC направлены в противоположные стороны. Значит, ∠BOC = 180° − 35° = 145°. Ответ: 145°.
- Угол ADB прямой, следовательно, равен 90°. Вычитаем известную часть: ∠CDB = 90° − 28° = 62°. Ответ: 62°.
- Биссектриса делит угол RNM пополам: ∠RNP = 118° / 2 = 59°. Лучи NR и NT противоположны, поэтому ∠PNT = 180° − 59° = 121°. Ответ: 121°.
- Переводим радианы в градусы: (3π/4) × 180° / π = 135°. Поскольку 135° больше 90°, но меньше 180°, угол тупой. Ответ: 135°, тупой угол.
Задача от эксперта: веер с пятью секторами
«Представьте, что вы мастер по изготовлению вееров. Вы делаете веер для персонажа аниме: он раскрывается на 180° и должен состоять из пяти равных секторов. Какой угол должен быть у каждого сектора?»
Решение: разделим развернутый угол на пять равных частей: 180°: 5 = 36°. Ответ: каждый сектор имеет угол 36°.
Частые вопросы
Где в реальной жизни встречаются острые и тупые углы?
Острый угол можно увидеть между стрелками часов в определенные моменты, у раскрытых ножниц и в элементах крыш. Тупой — между створкой широко открытой двери и стеной или между соседними сторонами некоторых предметов мебели. Но величина зависит от положения предмета: одна и та же дверь может образовывать и острый, и тупой угол.
Для чего углы нужны в профессиях и чем опасны ошибки?
«В строительстве точность угла стыка деталей влияет на качество соединения. Если плотник соединяет доски под углом 30° и ошибается на несколько градусов, могут появиться зазоры. В машиностроении при проектировании шестеренок и валов тоже важно правильно рассчитывать углы, чтобы механизм работал плавно и не заклинивал. Ошибка при проектировании наклона крыши способна привести к проблемам с конструкцией и протечкам».
Как измеряли углы до появления транспортира?
В геометрии и землемерии углы строили и сравнивали с помощью линейки, циркуля, отвесов и угломерных инструментов с размеченной шкалой. При этом измерение не обязательно означает чтение числа: например, прямой угол можно проверить угольником, а равные углы — построить циркулем и линейкой.
Чем угол отличается от длины отрезка?
Длина показывает расстояние между точками, а угол — поворот между направлениями. Поэтому удлинение стороны угла само по себе не изменяет его градусную меру. Углы сравнивают по величине, а не по длине нарисованных лучей.
Как найти неизвестный угол без транспортира?
Используйте свойства геометрических фигур. Смежные углы в сумме дают 180°, вертикальные равны, три внутренних угла треугольника складываются в 180°, а полный оборот — 360°. Если луч является биссектрисой, он делит угол на две равные части.
Углы в математике: главное
- Угол образуют два луча с общим началом — вершиной. Величина угла зависит от их направления, а не от длины.
- Угол обозначают знаком ∠ и буквами: в записи ∠ABC вершина — B.
- Острый угол меньше 90°, прямой равен 90°, тупой находится между 90° и 180°, развернутый равен 180°.
- Нулевой угол равен 0°, полный — 360°, невыпуклый находится между 180° и 360°.
- Градусы переводят в радианы по формуле α (рад) = α (°) × π / 180; 180° = π рад.
- Транспортир совмещают с вершиной и одной стороной угла. Значение читают по шкале, начинающейся с 0° на выбранной стороне.
- При вычислении неизвестных углов используют свойства смежных и вертикальных углов, треугольника и биссектрисы.
