Почему на ноль нельзя делить, но можно умножать
. Правило деления на ноль
О том, что на ноль делить нельзя, дети узнают еще в начальной школе, когда проходят таблицу умножения и деление. Чаще всего это правило остается без объяснений, хотя понять его несложно, за ним стоит логика, по которой работает арифметика. РБК Life рассказывает, почему на ноль нельзя делить, а умножать можно и что будет, если все-таки поделить на ноль.
Что такое ноль
Ноль — это целое число, которое обозначает отсутствие количества, и единственное целое число, которое не является ни отрицательным, ни положительным.
Существует два применения нуля:
- Ноль как указатель пустого места в позиционной системе счисления. Например, он нужен для того, чтобы мы могли отличить 15 от 105.
- Ноль как число само по себе. Например, его используют при работе с отрицательными числами.
Идея о заполнении разряда символом пришла к вавилонянам в VIII–V веках до н. э.: между числами они ставили клинописные знаки и крючки. Примерно в это же время подобие нуля находят в трудах некоторых древнегреческих математиков: они использовали букву О для записи астрономических данных. Однако впервые ноль как указатель пустого места в позиционной системе счисления в современном виде стали использовать индийские математики в IX веке.
Концепция ноля как числа зародилась в Индии в VII веке: математик Брахмагупта изложил правила арифметики, которые включали сложение, вычитание, умножение и деление с участием ноля. Ему удалось правильно расписать все правила, кроме деления: по его мнению, ноль деленный на ноль равнялся нулю [1].
Невозможность деления на ноль — один из первых математических запретов, с которым сталкиваются в начальной школе. Чаще всего его подают как готовое правило без доказательств, так как оно требует более глубокого понимания предмета.
Ноль — это целое число, которое обозначает отсутствие количества
Что получается при делении на ноль
Деление — операция, обратная умножению. Если y ÷ z = x, то x × z = y. Однако при подстановке ноля на место z обратное умножение становится невозможным.
Предположим, мы хотим разделить число y на ноль и получить x: y ÷ 0 = x.
По определению деления это значит, что x × 0 = y. Однако x × 0 = 0 при любом x. Какое бы y мы ни взяли, обратное умножение всегда дает 0, а не исходное x. Восстановить y невозможно — ответ не определен [2].
Приведем аналогию. Предположим у нас есть 100 г муки. Сколько нужно пакетиков, чтобы разложить в каждый по 5 г?
100 г ÷ 5 г = 20 пакетиков.
Обратное действие тоже работает. Если у нас 20 пакетиков по 5 г, то сколько у нас всего граммов муки?
5 г × 20 пакетиков = 100 г
Теперь подставим в ту же задачу 0. У нас 100 г муки. Сколько нужно пакетиков, чтобы разложить поровну в каждый по 0 г?
100 г ÷ 0 г =?
Ответ не определен. Если попытаться выполнить ту же операцию через умножение, то получится, что, сколько бы пакетиков по 0 г мы ни взяли, суммарно всегда получится 0 г, а не 100 г. Набрать 100 г муки из 0 г невозможно. Ответ не определен, потому что никакое число, умноженное на ноль, не может дать ненулевой результат.
Калькуляторы и компьютеры выдают ошибку при попытке разделить на ноль, потому что с точки зрения математики это невозможно. Например, при попытке разделить число на ноль приложение «Калькулятор» в macOS показывает сообщение «Не определено».
В компьютерных программах и на калькуляторах деление на ноль вызывает ошибку
Если разделить на ноль, то в обычной арифметике ничего числового не получится: это ошибка, ответа нет. 5 разделить на 0 нельзя, потому что нет числа, которое при умножении на ноль даст 5. 0 разделить на 0 тоже нельзя: подойдет любое число, а значит единственного ответа нет. В калькуляторах и программах это обычно ошибка или пометки вроде «бесконечность» и «не число». В высшей математике в пределах такое выражение может описывать стремление к бесконечности или давать разные результаты в зависимости от задачи, но это не обычное число и не бытовое деление.
Что будет, если поделить ноль на ноль
Деление ноль на ноль — особый случай, который называют неопределенностью.
Если 0 ÷ 0 = x, то должно выполняться 0 × x = 0. Однако в уравнение на месте x можно подставить любое число. Например:
- 0 × 1 = 0, значит 0 ÷ 0 = 1.
- 0 × 2 = 0, значит 0 ÷ 0 = 2.
- 0 × 100 = 0, значит 0 ÷ 0 = 100.
Поскольку подходит любое число, у выражения 0 ÷ 0 нет единственного ответа. Математики называют это «неопределенностью», потому что ответом может быть любое число и мы не можем определить, какое именно.
В высшей математике 0 ÷ 0 рассматривают через пределы в математическом анализе, но в арифметике говорят просто, что это неопределенность [2].
Почему делить на ноль нельзя, а умножать можно
Умножение на ноль возможно, потому что x × 0 всегда дает один результат — ноль.
Возьмем предыдущий пример. Предположим, у нас есть 20 пакетиков, а муки нет. Сколько получится муки, если разложить 0 г муки в 20 пакетиков? Ответ: нисколько.
20 пакетиков × 0 г = 0
Умножать на ноль легко: если взять что-то ноль раз, получится ноль. Я всегда на уроках рассказываю ученикам шутку про деление на ноль: когда я делю на ноль, мне даже не жалко делиться результатом.
Деление — это обратное действие к умножению, то есть какое число мы должны умножить на ноль, чтобы получить исходное число? Например, для 5 такого числа нет — все, умноженное на 0, дает 0. Для нуля подходит любое число, значит, одного правильного ответа тоже нет. Поэтому в обычной арифметике деление на ноль не имеет смысла и запрещено.
В высшей математике смотрят не на само деление, а на пределы: когда числитель и знаменатель одновременно стремятся к нулю, результат зависит от того, как быстро они уменьшаются. Если одинаково — может выйти 1; если числитель быстрее — 0; если знаменатель быстрее — бесконечность. Но это уже особый прием, а не обычное деление.
Частые вопросы
Стоит ли объяснять школьнику через математическое обоснование, почему на ноль нельзя делить, или на этом этапе достаточно представить это как правило?
Я не вижу ничего плохого в том, чтобы объяснить школьнику, почему на ноль делить нельзя. Скорее наоборот, это полезнее, чем просто запомнить «так делать нельзя». Даже многие взрослые помнят это правило со школы, но затрудняются объяснить, откуда оно берется. Математика строится на логических связях, поэтому хорошо, когда ребенок понимает хотя бы общую причину запрета, даже если не запоминает само доказательство.
При этом объяснение должно зависеть от возраста. Первоклассник и одиннадцатиклассник — оба школьники, но уровень математических знаний у них разный. Младшему ребенку достаточно интуитивного объяснения, например: «Ты не можешь дать семь яблок нулю других ребят». Конечно, могут возникнуть дополнительные вопросы от школьников, поэтому в младших классах можно сказать, что доказательство они разберут уже в средней школе. С пятого класса уже можно приводить доказательство и объяснения неопределенности, тем более что доказательство там достаточно короткое.
Интересно, что многие школьники позднее, уже в университете, встретят в математическом анализе неопределенности вида (0/0). И здесь важно не запутаться в терминах. Это не означает, что в университете вдруг разрешают делить на ноль. Речь идет о пределах, в которых числитель и знаменатель одновременно стремятся к нулю. Само деление на ноль по-прежнему остается неопределенным. Как раз для того, чтобы избежать путаницы при дальнейшем обучении, имеет смысл объяснять это правило в средней школе.
Корректно ли говорить ребенку, что невозможность деления на ноль — это аксиома, или такое объяснение будет математически неверным?
Называть невозможность деления на ноль аксиомой некорректно. Аксиома — это исходное утверждение, которое в рамках математики принимают без доказательства. Запрет делить на ноль не нужно вводить отдельной аксиомой. Как минимум потому, что мы можем обосновать, почему деление не имеет смысла. Поэтому правильнее сказать школьнику, что это не произвольный запрет, а следствие того, как устроена арифметика.
Главное о делении на ноль
- Деление на ноль — это арифметическое действие, при котором мы пытаемся найти частное от деления числа x на ноль, то есть x ÷ 0.
- Деление на ноль невозможно, потому что деление — это действие, обратное умножению: если x ÷ 0 = y, то 0 × y = x. Однако 0 × y = 0 при любом y. Какое бы y мы ни взяли, обратное умножение всегда дает 0, а не исходное x.
- При делении ноль на ноль в ответе можно подставить любое число — математики называют такой случай неопределенностью.
- В компьютерных программах и на калькуляторах деление на ноль вызывает ошибку.
- Запрет на деление на ноль — не аксиома, а следствие того, как устроена арифметика.
