Подписаться«Макс»

Сокращение дробей помогает записать число проще, не меняя его значения. Для этого числитель и знаменатель делят на один и тот же общий делитель. Дробь сокращают поэтапно, сразу на наибольший общий делитель или через разложение чисел на простые множители. РБК Life разбирает, как правильно сокращать дроби, какие дроби уже нельзя упростить и как проверить ответ.

Что значит сократить дробь

В федеральной программе по математике для 5–9-х классов сокращение дробей рассматривается вместе с основным свойством обыкновенной дроби [1]. Сократить дробь — значит разделить ее числитель и знаменатель на один и тот же общий делитель, не меняя значения дроби [2].

Если a — числитель, b — знаменатель дроби, а c — их общий делитель, правило записывают так:

a⁄b = (a: c) ⁄ (b: c), где b ≠ 0 и c ≠ 0

Например:

¹⁸⁄₂₄ = (18: 6) ⁄ (24: 6) = ¾

Дроби ¹⁸⁄₂₄ и ¾ равны: сокращение меняет запись числа, но не его значение. Если числитель и знаменатель не имеют общих делителей кроме 1, дробь называют несократимой [2].

Способы сокращения дробей

Дроби сокращают несколькими способами. Результат будет одинаковым, если на каждом шаге числитель и знаменатель делят на один и тот же общий делитель.

Поэтапное сокращение

Если сразу не видно наибольший общий делитель, дробь сокращают несколько раз.

Например, сократим ⁴⁸⁄₆₀:

⁴⁸⁄₆₀ = ²⁴⁄₃₀ = ¹²⁄₁₅ = ⅘

Сначала числитель и знаменатель разделили на 2, затем еще раз на 2, а потом на 3. У чисел 4 и 5 общих делителей кроме 1 уже нет, поэтому ⅘ — несократимая дробь.

Сокращение на НОД

Более короткий путь — найти наибольший общий делитель (НОД) числителя и знаменателя и сразу разделить оба числа на него. НОД — самое большое положительное целое число, которое делит оба исходных числа без остатка [3].

Например, НОД чисел 84 и 126 равен 42:

⁸⁴⁄₁₂₆ = (84: 42) ⁄ (126: 42) = ⅔

Если разделить числитель и знаменатель на их НОД, полученная дробь будет несократимой.

Разложение на простые множители

Если общий делитель трудно определить, числитель и знаменатель можно разложить на простые множители. Затем одинаковые множители в числителе и знаменателе сокращают [2].

Например:

⁹⁰⁄₁₅₀ = (2 · 3 · 3 · 5) ⁄ (2 · 3 · 5 · 5) = ⅗

После сокращения общих множителей 2, 3 и 5 в числителе остается 3, а в знаменателе — 5.

Как сокращать дроби

Для большинства примеров подойдет один и тот же алгоритм.

Шаг 1. Найдите общий делитель

Проверьте, есть ли число больше 1, на которое без остатка делятся и числитель, и знаменатель. Если числа большие, находят их НОД.

Например, у 36 и 54 есть общий делитель 18.

Шаг 2. Разделите числитель и знаменатель

Числитель и знаменатель обязательно делят на одно и то же число.

³⁶⁄₅₄ = (36: 18) ⁄ (54: 18) = ⅔

Шаг 3. Проверьте, можно ли сократить еще

Если после деления у числителя и знаменателя остался общий делитель больше 1, сокращение не закончено. Например, запись ¹²⁄₁₈ = ⁶⁄₉ верна, но ⁶⁄₉ еще делится на 3. Результат — ⅔.

Шаг 4. Проверьте равенство дробей

Результат проверяют перекрестным умножением. Для дробей ¹⁸⁄₂₄ и ¾ получаем 18 · 4 = 72 и 24 · 3 = 72. Произведения равны, значит, дроби действительно имеют одинаковое значение.

Какие дроби нельзя сократить

Дробь нельзя сократить, если числитель и знаменатель взаимно просты, то есть их НОД равен 1. Такую дробь называют несократимой. Например, дробь ⁷⁄₁₂ уже несократима: у чисел 7 и 12 нет общего делителя больше 1 [2], [3].

Сократимость не зависит от того, правильная дробь или неправильная. Например, ¹⁴⁄₉ — неправильная, но несократимая дробь, потому что НОД (14, 9) = 1. А ²¹⁄₉ — тоже неправильная, но ее можно сократить на 3 и получить ⁷⁄₃.

Отдельный случай — знаменатель, равный нулю. Запись вида ⁵⁄₀ не является допустимой дробью: знаменатель дроби не может быть равен нулю [2].

Частые ошибки при сокращении дробей

• Делить числитель и знаменатель на разные числа. Например, из ¹²⁄₁₈ нельзя получить ⁶⁄₆, разделив 12 на 2, а 18 на 3. При сокращении делитель должен быть одним и тем же.
• Останавливаться слишком рано. Дробь ¹²⁄₁₈ можно сначала сократить до ⁶⁄₉, но сокращение на этом не закончено: ⁶⁄₉ = ⅔.
• Сокращать цифры, а не общие множители. В дроби ¹⁵⁄₂₅ нельзя просто зачеркнуть одинаковые цифры 5 и получить ½. Правильно: ¹⁵⁄₂₅ = ⅗.
• Вычитать одно и то же число из числителя и знаменателя. Это меняет значение дроби: ¹⁰⁄₁₅ = ⅔, а (10 − 5) ⁄ (15 − 5) = ⁵⁄₁₀ = ½.

Задачи на сокращение дробей

Попробуйте сначала решить задания самостоятельно, а затем свериться с ответами.

1. Сократите дробь ²⁸⁄₄₂.
2. Сократите дробь ⁴⁵⁄₇₅.
3. Сократите дробь ⁸⁴⁄₁₂₆.
4. Сократите дробь ¹²¹⁄₁₄₃.
5. Какая из дробей уже несократима: ¹³⁄₂₀, ²¹⁄₃₅ или ²⁴⁄₃₆?
6. Ученик решил 18 из 24 заданий. Какую часть всех заданий он решил? Ответ запишите несократимой дробью.

Ответы

1. ²⁸⁄₄₂ = ⅔.
2. ⁴⁵⁄₇₅ = ⅗.
3. ⁸⁴⁄₁₂₆ = ⅔.
4. ¹²¹⁄₁₄₃ = ¹¹⁄₁₃.
5. ¹³⁄₂₀. У чисел 13 и 20 нет общего делителя больше 1.
6. ¹⁸⁄₂₄ = ¾.

Главное о сокращении дробей

• Сократить дробь — значит разделить числитель и знаменатель на один и тот же общий делитель, не меняя значения дроби.
• Сокращение основано на основном свойстве дроби: числитель и знаменатель одновременно делят на один и тот же общий делитель.
• Дробь сокращают поэтапно, сразу на НОД или через разложение числителя и знаменателя на простые множители.
• Если НОД числителя и знаменателя равен 1, дробь несократима.
• Правильность сокращения проверяют перекрестным умножением.
• Знаменатель дроби не может быть равен нулю.